حل تمرین صفحه 63 ریاضی یازدهم تجربی

وارون تابع $f$ که به صورت مجموعهٔ از زوج‌های مرتب $(x, y)$ نمایش داده شده است، با **جابه‌جا کردن مؤلفه‌های اول و دوم** هر زوج مرتب $(y, x)$ به دست می‌آید: $$f = \{(2, 3), (-2, 1), (-1, 2)\}$$ $$\mathbf{f^{-1} = \{(3, 2), (1, -2), (2, -1)\}$$

تابع داده شده $f(x) = x^2 - 4x + 3$ یک سهمی است. ## الف) محدود کردن دامنه برای یک به یک شدن **۱. یافتن رأس سهمی**: طول رأس ($x_V$): $$x_V = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(1)} = 2$$ تابع درجه دو، روی هر بازه‌ای که شامل **رأس** نباشد و یا فقط یک طرف رأس را در بر گیرد، **یک به یک** است. **۲. بررسی بازه‌ها**: * **$[1, 4]$**: این بازه **شامل رأس** ($x=2$) است. $f(1) = 1^2 - 4(1) + 3 = 0$ و $f(3) = 3^2 - 4(3) + 3 = 9 - 12 + 3 = 0$. چون $f(1) = f(3) = 0$، تابع روی این بازه **یک به یک نیست**. * **$[0, 2]$**: این بازه شامل $x_V=2$ و تمام نقاط سمت چپ آن است. این بازه **شامل نقاطی با $x$های یک طرف رأس** است. با حرکت در این بازه، تابع فقط **کاهشی** است. بنابراین، روی این بازه **یک به یک است**. $$\text{جواب}: \mathbf{[0, 2]}$$ --- ## ب) هر تابع درجهٔ ۲ یک به یک است؟ $$\text{جواب}: \text{خیر.}$$ $$\text{چرا}: \text{هر تابع درجهٔ ۲، مانند } f(x) = x^2 - 4x + 3 \text{، دارای **سهمی** است. به جز در مورد خطی که تنها یک طرف رأس را در بر می‌گیرد، این توابع روی دامنهٔ طبیعی } \mathbb{R} \text{ **یک به یک نیستند**، زیرا خطوط افقی در بالای رأس، نمودار را در دو نقطه قطع می‌کنند. به عبارت دیگر، مقادیر خروجی یکسان } (y) \text{ به ازای دو ورودی متفاوت } (x_1 \neq x_2) \text{ به دست می‌آیند.}$$

برای یافتن ضابطهٔ وارون ($f^{-1}(x)$)، معادلهٔ $y = f(x)$ را بر حسب $x$ حل کرده و سپس $x$ را با $y$ جایگزین می‌کنیم. ## الف) $f(x) = 5x - 2$ $$y = 5x - 2 \Rightarrow 5x = y + 2 \Rightarrow x = \frac{y + 2}{5}$$ $$\mathbf{f^{-1}(x) = \frac{x + 2}{5}}$$ ## ب) $f(x) = \frac{3}{5}x + 4$ $$y = \frac{3}{5}x + 4 \Rightarrow \frac{3}{5}x = y - 4 \Rightarrow x = \frac{5}{3}(y - 4) = \frac{5}{3}y - \frac{20}{3}$$ $$\mathbf{f^{-1}(x) = \frac{5}{3}x - \frac{20}{3}}$$ ## پ) $f(x) = \frac{-7x + 3}{5}$ $$y = \frac{-7x + 3}{5} \Rightarrow 5y = -7x + 3 \Rightarrow 7x = 3 - 5y \Rightarrow x = \frac{3 - 5y}{7}$$ $$\mathbf{f^{-1}(x) = \frac{3 - 5x}{7}}$$

نقاط نمودار عبارتند از: $$\text{نقاط}: (2, 3), (3, 2), (4, 2), (5, 1), (6, 2), (7, 3)$$ برای اینکه یک تابع یک به یک باشد، هیچ دو نقطه‌ای نباید دارای **مؤلفهٔ دوم یکسان** باشند. **۱. شناسایی مؤلفه‌های دوم تکراری (y)**: * $\mathbf{y = 3}$: در نقاط $(2, 3)$ و $(7, 3)$. (۲ تکرار) * $\mathbf{y = 2}$: در نقاط $(3, 2)$, $(4, 2)$, و $(6, 2)$. (۳ تکرار) * $\mathbf{y = 1}$: در نقطهٔ $(5, 1)$. (۱ تکرار) **۲. تعیین حداکثر نقاط باقی‌مانده**: برای حفظ تابع بودن و تبدیل به یک تابع یک به یک، از هر مجموعهٔ نقاط با $y$ یکسان، **تنها یک نقطه** می‌تواند باقی بماند. * از $y=3$ (۲ نقطه): حداکثر **۱** نقطه باقی می‌ماند. * از $y=2$ (۳ نقطه): حداکثر **۱** نقطه باقی می‌ماند. * از $y=1$ (۱ نقطه): حداکثر **۱** نقطه باقی می‌ماند. **۳. حداکثر تعداد کل نقاط باقی‌مانده**: $$1 + 1 + 1 = 3$$ $$\text{حداکثر تعداد نقاط باقی‌مانده}: 3$$

دامنهٔ مورد نظر: $D = [0, 2]$. برد مورد نظر: $R = [2, 5]$. ## الف) رسم تابع یک به یک برای یک تابع **یک به یک**، با افزایش $x$، مقدار $y$ باید به طور یکنواخت (صعودی یا نزولی) تغییر کند (آزمون خط افقی برقرار باشد). همچنین باید از نقطهٔ $(0, 2)$ به $(2, 5)$ یا از $(0, 5)$ به $(2, 2)$ برسیم. **مثال**: یک پاره‌خط صعودی از $(0, 2)$ تا $(2, 5)$. * $\text{ضابطهٔ ممکن}: y = \frac{5 - 2}{2 - 0}x + 2 = 1.5x + 2$ (برای $0 \le x \le 2$) $$\text{نمودار الف}: \text{پاره‌خطی که نقطهٔ } (0, 2) \text{ را به } (2, 5) \text{ وصل می‌کند.}$$ --- ## ب) رسم تابع غیر یک به یک برای یک تابع **غیر یک به یک**، باید حداقل دو مقدار $x$ متفاوت، یک $y$ یکسان داشته باشند (خط افقی نمودار را در بیش از یک نقطه قطع کند). برای حفظ دامنه و برد، نمودار باید شامل یک بخش صعودی و یک بخش نزولی باشد. **مثال**: یک نمودار سهمی‌شکل (به سمت بالا باز شود) که نقطهٔ مینیمم آن در داخل بازهٔ $[0, 2]$ باشد و نقاط انتهایی در ارتفاع $y=5$ باشند. * شروع در $(0, 5)$ و رسیدن به $(2, 5)$، با یک نقطهٔ مینیمم در $y=2$ (مثلاً در $x=1$). $$\text{نمودار ب}: \text{نموداری مانند یک نیم‌کاسهٔ سهمی‌شکل که از } (0, 5) \text{ شروع شود، در } (1, 2) \text{ مینیمم داشته باشد و به } (2, 5) \text{ برسد.}$$